Teave

Butterworthi filtri valem, võrrandid ja arvutused

Butterworthi filtri valem, võrrandid ja arvutused


Butterworthi filter on populaarne filtrivorm, mis pakub maksimaalselt tasast ribasisest vastust. Kuigi tänapäeval on väärtuste arvutamiseks kõige tavalisem rakendus või muu arvutitarkvara, on siiski võimalik neid arvutada traditsioonilisemate meetoditega. Nende arvutuste jaoks saab kaevata valemeid või võrrandeid ja nii on võimalik kompromisse ja toimimist hõlpsamini mõista.

Kasutades Butterworthi filtri võrrandeid, on suhteliselt lihtne arvutada ja joonistada sageduskarakteristikut ning töötada välja vajalikud väärtused.

Butterworthi filtri sagedusreaktsioon

Kuna Butterworthi filter on maksimaalselt tasane, tähendab see, et see on konstrueeritud nii, et nullsagedusel on võimsusfunktsiooni esimesed 2n-1 tuletised sageduse suhtes null.

Seega on võimalik tuletada Butterworthi filtri sageduse vastuse valem:

|VväljaVaastal|2=11 +(ffc)2n

Kus:
f = arvutamise sagedus
fc = katkestussagedus, s.t poolvõimsus või –3dB sagedus
Vin = sisendpinge
Vout = väljundpinge
n = elementide arv filtris

Võrrandi saab uuesti kirjutada, et anda selle tavalisem vorming. Siin on H (jω) ülekandefunktsioon ja eeldatakse, et filtril pole võimendust, st see ei ole aktiivne filter.

|H(jω)|=11+(ωωc)2n

Kus:
H (jω) = ülekandefunktsioon nurksagedusel ω
ω = nurksagedus ja on võrdne 2πf
ωc = piirväärtus, mis on väljendatud nurkväärtusena ja on võrdne 2πfc

Märge: Pole tähtis, kas ω / ωo või f / fc kasutatakse, kuna see on puhtalt kahe numbri suhe. Kui kasutatakse ω, mis on 2πf, tühistatakse tegur 2π nii, nagu see on nii murdosa ülemisel kui ka alumisel küljel.

Kui soovite Butterworthi filtri kadu igal hetkel väljendada, saab kasutada allpool toodud Butterworthi valemit. See annab sumbumise detsibellides igal hetkel.

Ad =10logi10(1+(ωωc)2n)

Butterworthi filtri arvutamise näide

Kui soovite tuua näite Butterworthi filtri arvutuse reaktsioonist, võtke näide allpool toodud vooluringist. Nagu nende arvutuste puhul tavaline, kasutatakse normaliseeritud väärtusi, kui piirsagedus on 1 radiaan, st 1 / 2Π Hz, impedants on 1 Ω ning väärtused on antud Faradsi ja Henriesi puhul.

Allpool toodud näites kasutatakse mõningaid lihtsamaid väärtusi impedantsiga 1Ω ja 2 Faradi kondensaatori väärtusi ja iga induktori seeriat 1 Henry.


Kasutades ülaltoodud valemit ja teadmisi piirväärtusest 0,159Hz, on võimalik arvutada vastuse väärtused erinevatel sagedustel:


Butterworthi filtri vastus
Sagedus (Hz)Suhteline võimsus
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Butterworthi filtripostid

Katkestussagedusega ωc asuva Butterworthi madalpääsfiltri poolused paiknevad ühtlaselt raadiusega ωc poolringi ümbermõõdu ümber, mis on keskendatud s-tasapinna alguspunktile.

Kahepooluselise filtri poolused on ± 45 °. Neljapooluselise filtri omad on ± 22,5 ° ja ± 67,5 °. Sarnaselt saab järeldada ka teisi juhtumeid.

Allpool olev tabel esitab aga madala läbipääsuga Butterworthi filtrite poolused ühe kuni kaheksa poolusega ja väljalülitussagedusega 1 rad / s, st normaliseeritud filtri puhul.


Normaliseeritud Butterworthi polünoomide poolused
TellimusPoolakad
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Need põhivõrrandid annavad aluse lihtsa Butterworthi LC-filtri väljatöötamiseks, mis sobib raadiosageduste ja muude rakenduste jaoks.


Vaata videot: Reaktsioonivõrrandite tasakaalustamine (Detsember 2021).